Distributions, analyse de Fourier et systèmes dynamiques (MAT 431)


En bref

Distributions

A partir de: 19 octobre 2010 (deuxième partie)
Cours: mardi, 8:30-10:00, Amphi Arago
Ressources pédagogiques: page de François Golse
Petites Classes: mardi, 13:30-15:30 (Gr 10) et 15:45-17:45 (Gr 5), PC no. 13
Email: julia.wolf at math.polytechnique.fr
Liens utiles: information du département
Références bibliographiques: "Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles" par François Golse
 

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Résumé

Ce cours présente la formation de base en analyse en systèmes dynamiques et en géométrie. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d'approfondissement de mathématiques de troisième année.

Le cours commence par les théorèmes de base sur les équations différentielles dont on développe notamment les aspects dynamiques et géométriques en insistant particulièrement sur la notion de stabilité, illustrée par des exemples concrets. L'approche géométrique conduit à l'étude des sous-variétés et de propriétés topologiques des champs de vecteurs.

Le cours se poursuit par une présentation du formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz, qui fournit un cadre naturel pour l'étude de la transformation de Fourier. Le cours se concentrera ensuite sur l'étude des propriétés fondamentales des différentes équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.

• Equations différentielles, champs de vecteurs.
• Flots, linéarisation, théorie des perturbations.
• Etude de la stabilité, exemples mécaniques.
• Sous-variétés, formes différentielles, formule de Stokes, applications topologiques.
• Equation de transport, méthode des caractéristiques.
• Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
• Transformation de Fourier.
• Equations de Poisson, Laplace. Fonctions harmoniques.
• Equation de la chaleur.
• Equation des ondes et de Schrödinger.

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Calendrier

Date ContenuA préparer pour la séance suivante
19 octobre equation de transport, fonctions C^inf à support compactF6: Ex 3, 8
2 novembre partitions de l'unité, distributions: premiers exemplesF7: Ex 2
A rédiger: F6: Ex 8
16 novembre résolution des équations au sens des distributionsF7: Ex 6, 10
23 novembre convergence des distributions, distributions homogènesF7: Ex 11
A rédiger: F7: Ex 1
30 novembre solution d'une ED au sense des distributionsF8: Ex 3
7 décembre support et convolution des distributionsF8: Ex 7
14 décembre la transformation de Fourier
4 janvier les distributions temperées
11 janvier le laplacien

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Organisation

Le devoir a la maison est à rendre impérativement en petite classe le 14 décembre.

La séance programmée le mardi 19 octobre sera exceptionnellement décalée d'une demi-heure (13:00-15:00 et 15:15-17:15) à l'occasion de la visite du président de la république du Chili.

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Mise à jour le 22 novembre 2010.